Referenztext II, Facharbeit zur Hyperbelfunktion

im Jänner 2012

Betreuer: Prof. Dr. M. Mustermann

Fachhochschule Sachsen

Inhaltsverzeichnis

1. Präambel 3

2. Hauptteil 3

2. 1 Hyperbel als Kegelschnitt 6

2. 2 Die Mittelpunktsgleichung der Hyperbel 6

2. 3 Bestimmung der Asymptoten. 6

2. 4 Hyperbelfunktionen in der Architektur 8

3. Zusammenfassung. 9

4. Quellenverzeichnis. 10

5. Tabellen- und Abbildungsverzeichnis. 10

6. Symbol- und Abkürzungsverzeichnis. 10

1. Präambel

Die Hyperbelfunktion lässt sich auf verschieden Arten ableiten. Aber auch in einer mathematischen Abhandlung werden Beispiele aus dem Bereich der Bionik gezeigt,

2. Hauptteil

Kopp, S. (2008) verdeutlichte den Zusammenhang mit den trigonometrischen Funktionen in ihrer Arbeit, wie folgt: Trigonometrischen Funktionen lassen sich am Einheitskreis geometrisch herleiten, bei den Hyperbelfunktionen an der Einheitshyperbel.

Nach Höllig , K. et. al. (2003) lässt sich die Hyperbelfunktion analog zu den trigonometrischen Funktionen, wie folgt, beschreiben: cosh x = (ez + e-z) / 2 und sinh x = (ez + e-z) / 2 sowie tanh x = sinh x / cosh x. Die Identität verweist auf den mathematischen Namen der Hyperbelfunktion und folgende Formel: cosh² x + sinh² x = 1.

Außerdem existieren nach Kopp, S. (2008) viele weitere Analogien, wie beispielsweise bei den Differentiationsregeln. Die Nähe dazu erweist sich erst tiefer bei der Untersuchung der Funktionen über den komplexen Zahlen. Daneben macht die Hyperbelfunktionen so spannend, dass der Kosinus Hyperbolicus durch seine Gleichung die Funktion der Kettenlinie darstellt, welche wir in unserem Lebensbereich zahlreich finden. Häufig bei Brücken kann man dies beobachten, aber auch in der Natur als etwa bei Spinnweben. Nach Flach (1999) zeigt sich das in angewandten Fallbeispielen der Bionik[i], dem ein eigenes Kapitel gewidmet wurde (siehe Kapitel: Hyperbelfunktionen in der Architektur). Die Hyperbelfunktionen kommen auch in der Tierwelt, etwa beim Spinnenetz vor. Oder auch bei der Dimensionierung von Brücken (siehe Abb. 1). Ein Koordinatensystem mit der x-Achse als Abszisse und der y-Achse als Ordinate beschreibt diese Hyperbelfunktion.

Abb. 1: Die größte deutsche Hängebrücke: die Rheinbrücke (nach [1])

So sieht man, dass sie sich durch eine Kettenlinie abbilden lässt. Man nennt man diese Kurve einer Kette die nur durch ihr Eigengewicht belastet ist auch Seilkurve. Da keine wesentliche Abweichung zwischen einem Seil und einer Kette besteht wird sie auch als Kettenlinie bezeichnet. Sie wird durch eine Hyperbelfunktion dargestellt, nämlich durch f(x) := a / 2 * (e (x/a) + e (-x/a ); wobei a eine positive Konstante ist, die die Steigung und den y-Achsenabschnitt bestimmt.

Diese Kettenlinie wird durch die sogenannte Kosinus Hyperbolicus beschrieben. cosh (x) := (ex + e-x) / 2 für alle x Î R. Es ist rasch einsichtig, dass der Kosinus Hyperbolicus eine gerade Funktion ist. Dies bedeutet f (x) = f (-x). Die Funktion weist bei (0/-1) einen Tiefpunkt auf. Daraus kann abgeleitet werden, dass der Wertebereich von 1 Í f (x) < +µ geht und der Definitionsbereich bei -µ < 1 < +µ liegt. Cosh ist eine stetige Funktion.

Abb. 2: Arc cos – liefert den umgekehrt hperbolischen Wert einer Zahl. Die Zahl liegt zwischen 2 und 15 [nach 2].

Daraus leitet sich nun für den Sinus Hyperbolicus folgende Funktion sinh(x) := (ex - e –x) / 2) ab. Der sinh ist also eine ungerade Funktion. Der sinh ist auch wie der cosh eine stetige Funktion und deinen Wendepunkt liegt am Punkt (0/0). Der Werte- und Definitionsbereich des sinh dehnt sich auf alle Zahlen aus. Der Sinus Hyperbolicus kann gut mit der Exponentialfunktion erklärt werden. Für die positiven x-Werte entspricht so die Funktion stark der Funktion f (x) = ex. Für die negativen x-Werte stellt die Linie die Funktion f (x) = - e –x dar. Nun kombiniert man die beiden obige Funktionen und streckt sie wieder um 1 / 2 und bekommt dadurch den Sinus Hyperbolicus.

Ebenso wie der Tangens Hyperbolicus wird auch der Cotangens Hyperbolicus aus einer Gleichwertigkeit der trigonometrischen Funktionen erklärt oder in Formelsprache coth(x) := cosh(x) / sinh(x) = (ex + e-x) / (ex – e-x). Der coth ist an der Stelle x = 0 nicht eindeutig, da er dort einen Pol hat.

So kann man für den Kosinus- und Sinus Hyperbolicus folgendes der Einfachheit halber einsetzen: (cosh(x)) (n) = sinh(x) für ungerades n und cosh(x) für gerades n. Das gilt auch sinngemäß für die sin Funktion: (sinh(x))(n) = cosh(x) für ungerades n und sinh(x) für gerades n.

Die Hyperbelfunktionen nennt man Sinus, Kosinus, Tangens, u. dgl. Hyperbolicus, weil sie einige Ähnlichkeiten wie der trigonometrische Sinus und Kosinus auch hat:

Trigonometrische Funktionen Hyperbelfunktionen

sin²(x) + cos²(x) = 1 sinh²(x) – cosh²(x) = 1

Additionstheoreme:

sin (α + ß) = sin (α) * cos (ß) + sin (ß) * cos (α) sinh (α + ß) = sinh (α) * cosh (ß) + sinh (ß) * cosh (α)

cos (α + ß) = cos (α) * cos (ß) - sin (α) * sin (ß) cosh (α + ß) = cosh (α) * cosh (ß) + sinh (α) * sinh (ß)

In dieser oben genannten Auflistung sind nur einige der vielen Ähnlichkeiten zwischen diesen Funktionen abgebildet.

Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen werden Areafunktionen genannt und mit den Buchstaben ar- gekürzt.

Der arcosh wird wie folgt berechnet x = cosh (A) (siehe dazu auch Abb. 2); in dieser Gleichung muss man nun nach A auflösen: x = (eA + e-A) / 2; wobei man einsetzt: 0 = eA – 2 * x + e-A wodurch sich ergibt: 0 = e 2 * A – 2 * x * eA + 1; eA 1 / 2 = x ± U x² - 1; wobei A = ln (x ± U x² - 1). Nach A = ln (x + U x² - 1) =: arcosh(x).

Auf dieselbe Weise lassen sich auch die anderen Umkehrfunktionen herleiten.

Man kann die Hyperbelfunktionen nun nicht nur über die Exponentialfunktion festsetzen, sondern man kann sie, wie auch sonst des Sinus und Kosinus, geometrisch darstellen. Beim Sinus und Kosinus geschieht dies am Einheitskreis x² + y² = 1 und bei den Hyperbelfunktionen kann man dies an der Einheitshyperbel x² - y² = 1 entwickeln.

2. 1 Hyperbel als Kegelschnitt

Legt man nun durch einen geraden Doppelkegel ebene Schnittflächen, so entstehen im wesentlichen vier Arten von Linien (Kegelschnitte des Kreises).

1 Ein Schnitt parallel zum Grundkreis ergibt eine Kreis.

2 Eine Schnittebene, die den zweiten Einzelkegel nicht berührt, heißt man eine Ellipse.

3 Eine Schnittebene, die bei beiden Einzelkegeln ankommt, bewirkt den gegenständlichen Fall, nämlich eine Hyperbel.

4 Ein Schnitt parallel zu einer Mantellinie führt zu einet Parabel.

2. 2 Die Mittelpunktsgleichung der Hyperbel

Alle Punkte, deren Differenz der Abstände von zwei festen Punkten F1 und F2 konstant ist, liegen auf einer Hyperbel: Die beiden Punkte nennt man Brennpunkte. Dieser Ansatz führt so zu der Hyperbelgleichung x² / a² - y² / b² = 1. Die Gleichung x² / a² - y² / b² = 1 bezeichnet man als Mittelpunktsgleichung der Hyperbel. Die Variablen a und b basieren auf positiven reellen Zahlen Es gilt wegen des Satzes von Pythagoras |s1 - s2| =|sqrt[ii] [y² + (x + e)²] – sqrt [(y² + (x - e)²]|. Ist y = 0, so ist andererseits |s1 - s2|=2 *a. Somit ist |sqrt [y² + (x + e)²] – sqrt [y² + (x - e)²]| = 2 * a die Bestimmungsgleichung der Hyperbel. Durch zweimaliges Quadrieren werden die Wurzelterme und die Betragsstriche gelöscht. Die Funktion lautet nun e² * x² - a² * x²-a² * y² - a² * e² + (a²)² = 0 (e² - a²) * x² - a² * y² = a² * (e² - a²). Setzt man die Variable b über b² = e² - a² ein, so vereinfacht sich die Gleichung b² * x² - a² * y² = a² * b² oder x² / a² - y² / b² = 1. Die Gleichung x² / a² - y² / b²=1 entspricht der Ellipsengleichung x² / a² + y² / b²=1. Setzt man nun die imaginäre Zahl i mit i² = -1 ein, passt dies mit der Ellipsengleichung überein: x² / a² + y² / (i * b)²=1. So bezeichnet man dabei die reelle Halbachse mit a und die imaginäre Halbachse mit b. Diese Berechnungen zur Ellipse könnten auch formal auf eine Hyperbel übertragen werden.

2. 3 Bestimmung der Asymptoten

Abb. 3: Graphische Bestimmung der Asymptoten nach Heuser (2000)

Um nun die Lage der Asymptoten zu bestimmen, reicht es die Länge b der imaginären Halbachse zu berechnen. Dies kalkuliert man mit folgender Formel: b = yp / U(x²p / a² - 1)

Die erste Asymptote (eine der roten Linien) geht durch den Mittelpunkt O und durch den Punkt T(a,b). Die zweite Asymptote ist symmetrisch zu ersten Asymptote, bezüglich der Achse X.

Polargleichung

Wie beschreibt man ein Polarkoordinatensystem? Kurven erhält man mit Gleichungen, die Beziehungen zwischen Koordinaten beschreiben:

Man bekommt etwa einen Kreis mit dem Radius R, wenn man im kartesischen Koordinatensystem den Graphen zur Relation x²+y²=R² bestimmt. Der Kreis gehört zu den Kurven, die sich im Polarkoordinatensystem einfacher abbilden lassen. Der Kreis r (t) = R.

Einführung des Polarkoordinatensystems

Im kartesischen Koordinatensystem sind zwei aufeinander senkrecht stehende Achsen vorgegeben, die sich im Nullpunkt schneiden. Man legt nun einen Punkt in der Ebene fest, indem man die Abstände zu den Achsen und Vorzeichen anführt.

Bei Polarkoordinaten setzt man einen horizontal liegenden Strahl h ein, der in einem Nullpunkt N beginnt. Man legt in der Ebene einen Punkt P fest, indem man ihn mit dem Nullpunkt N verbindet und dann die Entfernung r vom Nullpunkt und den Winkel phi zwischen der Geraden NP und der Halbgeraden h anführt. Der Winkel P(r|phi) wird gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet. Man erwähnt den Nullpunkt N auch als Pol, die Halbgerade h Polarachse, den Radius r auch Radiusvektor oder Polabstand und den Winkel phi auch Polarwinkel. Das kartesische Koordinatensystem umfasst die Grundmengen der x- und y-Werte die Menge der reellen Zahlen. Beim Polarkoordinatensystem darf von der Begriffsbestimmung her der Radius nur positive Zahlen annehmen. Für die Winkel reichen für die Illustration von Punkten der Ebene die Zahlen von Null bis ausschließlich 360 Grad aus. Aber es ist zweckhaft, auch Winkel über 360 Grad aufzunehmen. Dann erfasst man nämlich auch etwa die Spiralen. Freilich gibt es dann nicht mehr eine eineindeutige Zuordnung zwischen Winkel und Punkt. Zu jedem Winkel existiert zwar ein Punkt, aber einem Punkt können neben phi die Winkel phi + n*360° (n = 1,2,3,...) einbezogen werden.

Bei Anwendung von Polarkoordinaten beliebt man zur Zählung des Polarwinkels das Bogenmaß, wobei man die Einheit rad weglässt wie ebenfalls die Längeneinheit beim Radius.

Die Beziehungen zwischen den beiden Koordinatensystemen wird durch trigonometrische Funktionen ausgeglichen. Es besteht die Gleichungen cos(t) = x / r und sin(t) = y / r. Dabei wird angenommen, dass die Nullpunkte zusammenfallen.

2. 4 Hyperbelfunktionen in der Architektur

Einer der Kettenlinie ähnlichen Stützlinie sieht man am scherkräftefreien Bogen des 192 m hohen Gateway Arch in St. Louis. Antoni Gaudi gebrauchte nun für die Struktur der tragenden Strukturen mehrfach die Regel der Hängemodelle. Durch diesen Grundsatz konnte er auch schwierige Formen ohne zusätzliche Berechnungen mit einem minimalen Materialeinsatz umsetzen, da in den Gewölben nur Druckkräfte auftreten. Diese Bauform wird auch als katalanisches Gewölbe genannt. Die von Gaudí verwendeten Bögen fußen auf dem Axiom der Kettenlinie und stellen eine auf den Kopf gestellte Katenoide dar.

Das zeigt auch folgendes Bau-Beispiel einer kleinen Kirche in England:

Ein weiteres Beispiel ist die Kathedrale von Brasília:

3. Zusammenfassung

Abschließend kann man aussagen, dass die Hyperbelfunktionen eine sehr abwechslungsreiche Gleichung sind. Wenn man die trigonometrischen Funktionen bespricht, soll man auch gleich die Hyperbelfunktion eingeführt werde. Zudem wären einige gewiss beeindruckt; dass einige bekannte Brücken eine Kosinus Hyperbolicus Funktion beinhalten. Oder dass die Spinne bei ihrem symmetrischen Netz Hyperbelfunktionen einarbeitet. Spannend ist zudem, dass es sehr verschiedene Wege gibt, wie man die Hyperbelfunktionen formulieren und dann ableiten kann. Entweder über die Exponentialfunktion oder die geometrische Darstellung. Hierauf kann man sich mit der Hyperbelfunktion, die man sich am besten im Komplexen vorstellt, weiter und intensiv auseinander setzen.

4. Quellenverzeichnis

Flach. M. (1999): Murauer Kamingespräche zu BIONIK. News der JONNEUM RESEARCH im Eigenverlag. Graz, 1999.

H. Heuser. H. (2006): Lehrbuch der Analysis Teil 1, Teubner Verlag, Wiesbaden, 16. Auflage.

Höllig, K., Kopf, P. (2001): Die Hyperbelfunktion. Universität Stuttgart, Stuttgart.

Kopp, S. (Wintersemester 2008/09): Hyperbelfunktionen. Proseminar Analysis an der Ruprechts-Karl-Universität Heidelberg, Unterlagen.

Quellen aus dem Internet

[1] Nebel B.: Brücken, URL: http://www.bernd-nebel.de/bruecken//, Zugriff am 22.1.2012.

[2] Walter Fricke, Fleckenstein, J. und Georgi, B.: Excelformeln, URL: http://www.excelformeln.de/formeln.html, Zugriff am 22.1.2012.

5. Tabellen- und Abbildungsverzeichnis

Abb. 1: Die größte deutsche Hängebrücke: die Rheinbrücke (nach [1])

Abb. 2: Arc cos – liefert den umgekehrt hperbolischen Wert einer Zahl. Die Zahl liegt zwischen 2 und 15 [nach 2].

Abb. 3: Graphische Bestimmung der Asymptoten nach Heuser (2000)

6. Symbol- und Abkürzungsverzeichnis

:= ... entspricht

Í ... kleiner gleich

µ ... unendlich

U .... quadratische Wurzel

Abb. ... Abbildung

cosh ...Kosinus Hyperbolicus ist eine mathematische Hyperbelfunktion

α ... Alpha

ß ... Beta

Î ... ist ein Element

e ... Die eulersche Zahl = 2,7182818285... wurde nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler benannt und ist eine irrationale reelle Zahl.

et. al. ... et alii, und andere

f (.) ... Funktion von Klammerausdruck

sinh ...Sinus Hyperbolicus ist eine mathematische Hyperbelfunktion

tanh ...Tangens Hyperbolicus ist eine mathematische Hyperbelfunktion; sie heißt auch Hyperbeltangens.

u. dgl. ... und dergleichen

[i] Der Begriff Bionik ist ein Kunstwort und verbindet die Begriffe Biologie und Technik,